Materi Kalkulus Tentang Himpunan

Image: www.google.com

1. Pengertian Himpunan

Himpunan dapat dipandang sebagai benda-benda yang berbeda tetapi dalam satu segi dapat ditanggapi sebagai satu kesatuan. Objek-objek ini disebut anggota atau elemen himpunan.

2. Notasi himpunan

Himpunan = A, B, C, D,...dst

Anggota himpunan = a, b, c,...dst

Himpunan software under windows-windows.

Contoh  1 :

A = {ms-word, ms-excel, ms-power point,dst} Atau B = {x│x sofware under windows}.

Contoh 2 :

Himpunan bilangan ganjil kurang dari 10.

A = {1, 3, 5, 7, 9}

Contoh 3 :

Himpunan bilangan asli kurang dari 5.

B = {1, 2, 3, 4}

B = { x│x bilangan asli kurang dari 5}

Masing-masing objek dalam himpunan disebut anggota atau elemen himpunan. Dituliskan:

x Є A = x anggota himpunan A

x Є A = x bukan anggota himpunan A

3. Kardinalitas

    Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi n (A) atau │A│

Example :

a) B = {x│x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20}, atau

    B = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19} maka │B│ = 8

b) T = {perkutut, kutilang, kenari, dara, beo} maka │T│ = 5, Atau

    T = { x│x jenis burung bersuara merdu}.

4. Himpunan Berhitung dan Tak Berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan dimana jumlah anggotanya berhingga, artinya bila kita menghitung elemen-elemen yang berbeda dari himpunan ini, maka proses penghitungannya dapat selesai. Bila tidak demikian maka disebut himpunan tak berhingga.

Example :

A = himpunan software anti virus.

A = { x│x sofware anti virus}

A = (norton, mc Afee, panda, kaspersky, norman)

B = himpuna bilangan asli, maka A berhingga

B = { x│x bilangan asli}, maka B tak berhingga

B = {1, 2, 3,dst}

A ~ B  maksudnya, A setara dengan B

Himpunan A dikatakan substitusi himpunan B  jika dan hanya jika semua elemen elemen A adalah anggota himpunan B.

Contoh :

A = {win 3.l, win 3.ll, win95, win97}

B = {win 3.l, win 3.ll, win95, win97, win98, win98SE, winMe, win2000, winXP}.

Maka : A c B

5. Dua Himpunan Setara

A = {1, 3}                     A †  B                          A < ≠ > B

B = {3, 5, 6}                 A ~ C                          A < = > C

C = {4, 7}

6. Dua Himpunan Sama

A = {1, 3}, maka A = B

B = {1, 3}

C = himpunan bagian atau sub himpunan.

A = {1, 4, 7}

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Maka :

A c B

B ¢ A

7. Macam-Macam Himpunan

a) Himpunan kosong (entry set)

Himpunan dengan kardinal = 0 dengan himpunan kosong. Notasi : Φ . { }.

Contoh :

A = himpunan software aplikasi yang bisa dipakai dengan semua sistem operasi.

A = Φ = { }

B = himpunan tumbuhan yang bisa hidup tanpa air

B = { } maka artinya tidak ada

b) Singleton set

Singleton set adalah himpunan yang hanya memiliki atau anggota.

A = himpunan bilangan ganjil antara 8 dan 10

A= {g}

c)    Himpunan sementara (universal set)

Dalam setiap pembicaraan himpunan, maka semua himpunan yang ditinjau adalah sebagai himpunan dari sebuah himpunan tertentu yang disebut himpunan sementara. Dengan kata lain himpunan semesta adalah himpunan dari semua objek yang berbeda. Notasi : ˅

d) Himpunan Kuasa

Dari sebuah himpunan kata dapat membuat sub himpunan-himpunannya. Himpunan dari semua sub himpunan yang dapat dibuat dari sebuah himpunan disebut himpunan kuasa.

Contoh 1 :

A = {mouse, keyboard}

B = {monitor, printer, scanner}

Maka :

2A = {A, {mouse}, {keyboard}}

2B = {B, {monitor}, {printer}, {scanner}, {moniter, printer}, {moniter, scanner}, {printer, scanner},{}}

Contoh 2 :

A = {1, 2, 3}

2x = x banyak anggota himpunan A

X = 3

2x = 8

A = {A, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, { }}

8. Operasi Himpunan

a) Gabungan dari dua himpunan (Union)

Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota A atau B atau keduanya. Notasi A Ʊ B atau A + B

Contoh 1 :

A = {Mouse, Keyboard}

B = {Monitor, Printer, Scanner}

C = {Mouse, Keyboard, CPU, Monitor}

Maka ;

A Ʊ B = {Mouse, Keyboard, Monitor, Printer, Scanner}

A Ʊ C = {Mouse, Keyboard, CPU, Monitor}

B Ʊ C = {Monitor, Printer, Scanner, Mouse, Keyboard, CPU}

Contoh 2 :

A = {1,2,3,4}

B = {2,4,6,8,10}

C = {1,2,3,4,5,6}

Maka ;

A Ʊ C = {1,2,3,4,5,6} atau A Ʊ C = C

A Ʊ B = {1,2,3,4,6,8,10}

b) Irisan dari 2 himpunan (Intersection)

Irisan dari 2 himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya dimiliki bersama oleh himpunan A dan B. Notasi : A Ω B.

Contoh :

A = {3,10,14,20}

B = {1,10,14,30,31}

A Ω  B = {10,14}

c) Selisih antara dua himpunan (Relative)

Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya hanya menjadi anggota himpunan A tetapi tidak termasuk anggota himpunan B. Notasi : A – B

d) Komplemen dari himpunan

Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota A. Dengan kata lain komplemen A adalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil dari U – A.

9. Beda Setangkap (Symmetric Difference)

Data setangkap dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A atau anggota B, akan tetapi bukan merupakan anggota kedua himpunan secara bersamaan.

Notasi : A + B

Contoh :

C = {10,12,13,14,19}

B = {13,14,19,21,23}

C + D = {10,12,21,23}

Share this post